Ich sehe geometrische Muster

Auf dem Seidlhof habe ich an den Fenster ein Muster entdeckt. Es handelt sich dabei um einen Kreis, indem sich sechs Blüttenblätter befinden.

Ich habe mir überlegt, wie dieses Muster gemacht wurde. Bei genauerer Betrachtung ist mir aufgefallen, dass die Blüttenblätter eigentlich sechs Kreise sind – wobei nur die Linie innerhalb des äußeren Kreises angezeigt wird.

Also man zeichnet einfach einen Kreis mit dem Radius r. Dann nimmt man einen beliebigen Punkt auf der Kreislinie des ersten Kreises als Mittelpunkt für einen weiteren Kreis mit dem Radius r. Beide Kreislinien schneiden sich an genau zwei Punkten. Beide Mittelpunkte befinden sich nun auf der Kreislinie des anderen Kreises. Jetzt nimmt man einen der Schnittpunkte als weiteren Mittelpunkt und zeichnet einen dritten Kreis. Am Ende hat man außen sechs weitere Kreise. Jetzt muß man nur die Kreislinien außerhalb des ersten Kreises entfernen und fertig ist das Muster.

Aber nun mal zu meinen Dreiecken. Wenn man jetzt den Mittelpunkt des ersten Kreises und zwei benachbarten Mittelpunkte auf der Kreisline des ersten Kreises nimmt, so hat man ein gleichseitiges Dreieck. Alle Seiten sind gleich lang. Die Seitenlänge entspricht dem Radius r. Jedes Eck hat einen Innenwinkel von 60°. Es gibt insgesamt wieder 6 solcher Dreiecke. Das ist doch interessant, oder?

Wir machen mal weiter mit dieser Spielerei. Mich würde mal interessieren, wie groß die Fläche des Kreises ist. Klar, Flächenberechnung von Kreisen ist kein Problem – solange man die Zahl Ï€ (Pi) und die dazugehörige Formel kennt. Gehen wir mal davon aus, dass wir beides nicht kennen. (Ich hatte keine Formelsammlung im Urlaub dabei…)

Die Fläche des Kreises ist kleiner als das Quadrat drumherum. Die Fläche eines Rechtecks berechnet man ja bekanntlich mit Länge mal Breite. Bei einem Quadrat ist es Länge Hoch 2. Die Seitenlänge ist der Durchmesser des Kreises. Der Durchmesser ist zweimal der Radius r. Folglich hat das Quadrat die Fläche (2*r)². Wir können aber noch ein Quadrat innerhalb des Kreises zeichnen. Die Fläche des Kreises ist größer als die Fläche des inneren Quadrates. Aber wie ist die Seitenlänge des inneren Quadrates? Die Diagonalen des inneren Quadrates sind die Durchmesser. Wenn man jetzt eine Quadrat mit Diagonale hat, dann hat man auch zwei rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke.

Wenn wir rechtwinklige Dreiecke hören, denken wir doch sicher alle gleich an Pythagoras. Die Summe der Kathedenquadrate ist gleich des Hypothenusenquadrates. Die Hypothenuse ist die Seite die dem 90°-Winkel gegenübersteht – und zugleich auch die längste Seite des Dreiecks. Die Katheden sind bei unserem gleichschenkligen Dreiecke gleich lang, was das ganze sehr vereinfacht. Also nochmal als Formel a²+b²=c². Das c ist in diesem Fall unser Durchmesser (2*r). Die Variablen a und b sind identisch. Folglich haben wir a²+a²=(2*r)². Etwas verkürzt ergibt das 2*a²=(2*r)². Ist das nicht schön? Wenn wir jetzt beide Seite durch zwei Teilen ergibt sich folgendes: a²=(2*r)²/2. Da a unsere Seitelängen des inneren Quadrates ist und die Fläche mit Seitenlänge zum Quadrat berechnet wird, haben wir also so auch die Fläche des inneren Quadrates. Also die Fläche des Kreises muß zwischen (2*r)²/2 und (2*r)² liegen. Faszinierend.

Bringt natürlich so überhaupt noch nichts. Ich glaube, dass ich da etwas anderes ran gehen muß. Da helfen mir wohl meine einfachen Formen wie Satz des Pythagoras oder Flächenberechnung von Rechtecken wohl wirklich nicht weiter. Eine andere Überlegung wäre es ja, die Fläche der ersten sechs gleichseitigen Dreiecke zu berechnen und zu addieren. Dann würden wir der Sache schon etwas näher kommen. Wie berechnet man aber jetzt die Fläche eines nicht rechtwinkligen Dreiecks? Ein Rechtwinkliges Dreiecke ist genau die Hälfte eines Rechtecks, dessen Seiten die gleiche Länge haben wie die Katheden. Also Rechteck zum Quadrat durch zwei. Aber bei gleichseitigen Dreiecken habe ich keinen rechten Winkel.

Wenn ich mich aber das gleichseitige Dreieck näher betrachte, dann fällt mir doch auf, dass ich es doch in der Mitte teilen kann. Ich kann es in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilen. Quasi die Spiegelachse einzeichnen. Bei den zwei neuen rechtwinkligen Dreiecken habe ich also nun die Hypothenuse mit der Länge r und eine Kathede mit der Länge r/2. Die zweite Kathede kann ich mir ja wieder über Pythagoras herleiten. Also c = r, a = r/2 => (r/2)²+b²=r². Die Fläche des Gleichseitigen Dreiecks wäre dann also: r/2 * b. Jetzt bastel ich mal die obere Formel etwas um: b²=r²-(r/2)². Das Quadrat bekomme ich nur durch die Quadratwurzel weg. ich schreibe einfach Wurzel davor ;-). b = Wurzel( r²-(r/2)²). Also ist die Fläche meines gleichseitigen Dreiecks r/2 * Wurzel(r²-(r/2)²). Das ganze muß ich jetzt noch mit Sechs multiplizieren und dann habe ich wieder eine Fläche, die näher an der Kreisfläche dran ist als mein inneres Quadrat. Also die Kreisfläche ist kleiner als (2*r)², aber größer als 6*r/2*Wurzel(r²-(r/2)²). Das ganze kann ich noch etwas vereinfachen. 3*r*Wurzel(r²-(r/2)²).

Ich werde langsam wirklich alt. Ich kann mich gar nicht mehr erinnern, wie man solchen Sachen wie (r/2)² vereinfachen kann. Wenn ich jetzt das r da rausholen will, wie mache ich das nochmal? Ich glaube ich schaue doch lieber in der Formelsammlung nach.

Ach ja, die Fläche eines Kreises wir mit r²*Ï€ berechnet.